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980思想与学术数学论【论】数学的一个重要分支，现代数学的基础。论是康托尔在19世纪末创立的。它经历了两个发展阶段：1908年以前称为朴素论：1908年以后称为公理论。朴素论产生的背景是分析学，康托尔在研究“函数展开为三角级数的唯一性”问题时，首先提出了的概念，并且提出了对无穷分类的一种法则，即“一一对应”法则。如果两个的元素之间能建立一一对应的关系，则称这两个等势。一个无穷可与它的一个真子集等势，这与传统的观念“全量大于部分”矛盾，但康托尔认为这恰恰是无穷区别于有穷的特征。他称与全体自然数N等势的为可数集，当他证明了全体有理数集和全体代数数集都是可数集之后，又发现全体实数集R不是可数集，这说明无穷之间存在着差异，为了刻划这种差异，他引进了基数的概念，同时他还开始研究有序的，特别是良序集的结构，并引入了序数的概念，将数学归纳数学981法推广到自然数以外，提出了超限归纳法。1900年左右论中出现了悖论，其中最著名的是罗素悖论。悖论的出现表明论的理论是不协调的，也使人们对整个数学推理的正确性与结论的真理性产生怀疑，酿成了数学史上的第三次危机。为了克服悖论所带来的困难，策梅洛于1908年提出了一个公理化方案，后经弗伦克尔和斯科朗的改进，形成了现代的公理论。【】数学中最基本的概念，也是论研究的对象。我们把一定范围内、确定的、可区别的事物的整体称为，组成的事物叫做的元素，如果a是A的元素，则称a属于A或A包含a,记作a∈A。如果一个只含有限个元素，则称为有限集，如果一个包含无限个元素，则称为无限集。当一个的所有元素都已确定时，这个就被确定了。有限可将其元素全部列出。置于括弧之内来表示。例如全体小写英文字母的可表示为{，b,…,z},对无限上述方法不行，这时只有用可以刻划所有元素X的某一性质P(X)来加以概括，例如全体自然数的可表示为{XX是自然数}。可以没有任何元素，这种只有一个，称为空集，记作⑦。如果B的元素都是A的元素，就称B是A的子集，也称A包含B。记作B二A或A一B。空集是任何的子集，任何都是它自己的子集。如果A,B有相同的元素，那么这两个相等，记作A=B。以属于A或属于B的元素为元素的称为A与B的并集，记作AUB,以属于A又属于B的元素为元素的称为A982思想与学术与B的交集，记作A∩B,以属于A但不属于B的元素为元素的称为A与B的差集，记作A一B。当B二A时，A一B可称为B关于A的补集，的并与交都适合交换律和结合律，即AUB=BUA,(AUB)UC=AU(BUC),A∩B=B∩A,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。并与交还适合分配律，即A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C),AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC),它们与差一起适合德·摩根律：S-(AUB)=(S一A)∩(S-B),S一(A∩B)=(S一A)U(S一B)。如果对某个非空I的每个元素i∈I都指定一个A,那么由A:组成的{A:i∈I}称为族。族{A:i∈I}的交定义为{X|Hi∈IX∈记作UA:。A的全部子集组成的称为A的幂集，记作P(A),对任意两个元素a,b按一定次序排列起来可构成有序对，记作〈a,b)。设A,B是两个非空，从A,B中各取一个元素a,b所组成的有序对〈a,b〉的全体组成{(a,b)|a∈A,b∈B}称为A与B的直积，记作AXB。【映射】数学的基本概念。设A和B是两个非空，如果按照某一法则将A中任一元素与B中唯一元素相对应，就称该法则为从A到B的映射，记作f:A→B,A称为f的定义域，记作dom(f),A中元素X所对应的B中唯一元素y称为X在f下的象，记作f(X),f(A)={f(X)|X∈A}是B的子集，称为f的值域，记作ran(f)。两个映射f和g只有当它们有相同的定义域，并且对任意X∈A有f(X)=g(X)时才称为相等。当ran(f)=B时称f是A到B上的映射，也称满射。如果f将A中不同元素映到B中
