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二次规划一非线性规划与组合的算法Murty和Kabadi的著述(1987).如果H有-一个负的对角元素，或者有一个2阶主子矩阵，其两个对角元素为0，非对角元素是负数，很容易确定一个非负的x使得(x)<0.问题难在H的所有对角元素大于零且每行（列）都有负的非对角元素的情形.本书利用旋转运算，结合一种参数化技术，证明了此问题等价于在一个有限集中寻找I型或Ⅱ型非负下降方向.问题（ⅱ）与问题()类似，不过形式要复杂一些.问题()的关键在于判断KT点处是否有可行下降方向，有赖于问题（ⅱ）的解决.本书以较大篇幅介绍非凸二次规划局部极小点，即问题()的计算方法.至于问题（ⅳ），只有当变量数目较少时才可能以较小的计算量获得全局极小点.随着问题规模不断增加，计算量成指数膨胀.Hansen等人(1993)、Vandenbussche和Nemhauser(2005)提出用分支定界或分支切割算法解一个简单的非凸二次规划，其约束条件仅仅是每个变量在0和1之间.也就是说，用类似于解混合整数规划的方法解一个简单的非凸二次规划，其计算量之大可想而知.本书简单介绍如何从一个局部极小点出发寻找其他局部极小点，为进一步研究非凸二次规划的全局极小点提供一种思路序列二次规划(P)法是求解复杂非线性规划最有效的方法.P法将一个复杂的非线性规划在某一点处用一个二次规划近似，前者称为原问题，后者称为子问题.通过求解二次规划子问题获取一个新的解（点），然后再将原问题在新的点用一个二次规划近似并求解，如此等等，以获取原问题的一个解.用$QP法解非线性规划关键在于二次规划模型的形式及其计算方法.序列二次规划法分为牛顿法和拟牛顿法.在无约束极值问题的牛顿法中，子问题目标函数的海色(Hesse)矩阵是原问题目标函数f八x)在某点x处的海色矩阵2f(x,).对于约束极值问题，子问题目标函数的海色矩阵通常是拉格朗日函数在(x,A)处的海色矩阵VL(x,A,).如果原问题的目标函数和约束条件较为复杂，计算二阶偏导数是一项烦琐的工作，而且得到的海色矩阵可能不是正定的，导致一个非凸的二次规划子问题.于是，人们常用一个正定矩阵B,代替目标函数或拉格朗日函数的海色矩阵，并且在迭代过程中不断校正B,这种方法便是拟牛顿法.近几十年来，拟牛顿法的理论研究成果很多，实际计算效果也较好.校正B的公式有DFP公式、BFGS公式、Broyden族、Huang族等，其中最有名的是BFGS公式.这些公式力图使B:正定，或者说使子问题成为凸二次规划.可以证明，当B,正定且充分接近2f(x)或可L(x，入)时，算法的收敛性很好.对于无约束极值问题，容易做到所有B:正定，例如使用精确线搜索，但是这一点并不能保证算法对于所有问题收敛.Dai Yuhong(2O02)和Mas-carenhas W,F.(2004)就给出了BFGS法用于非凸函数失效的一些例子，至于某些约束极值问题，想在迭代过程中让每个B,正定都很困难.早在1987年，2Murty和Kabadi就指出了这些算法的局限性，他们说：“许多关于非线性规划的教科书留给读者一种印象：其算法收敛于凸非线性规划的全局极小点，收敛于非凸非线性规划的局部极小点，许多专业非线性规划的软件包文件也制造同样的印象，这是十分错误的.”本书也用序列二次规划法解更为复杂的非线性规划.但与拟牛顿法不同，二次规划子问题目标函数的海色矩阵就是原问题目标函数的海色矩阵，或者是拉格朗日函数的海色矩阵.当约束条件较为复杂时，还可能使用增广拉格朗日函数的海色矩阵.这时的子问题可能是凸二次规划也可能是非凸的.非线性规划的形式多种多样，不同的算法有各自的适用范围.有的问题用序列线性规划法计算效果也很好.希望本书介绍的方法能弥补传统算法的不足本书还介绍若干种资产组合选择模型的计算方法.这些模型都以方差作为风险的度量，其中一种模型考虑凹交易成本，另有一种考虑V形交易成本，用序列二次规划法计算.据我们所知，现有文献都是用线性规划解这两种问题，用绝对偏差等指标作为风险的度量，而不是实际中通常使用的方差风险全书分为六章.第一章介绍线性代数和微分学的一些基础知识以及最优化的有关定理.第二章介绍线性不等式组的解法及参数化技术.第三章介绍二次规划旋转算法的基本概念和凸二次规划的解法.第四章由简单到复杂逐步介绍非凸二次规划的计算方法.第五章介绍约束非线性规划的序列二次规划法.第六章介绍若干均值方差资产组合选择问题的解法、全书结构严谨，深入浅出，所有算法都有相应的定理为基础.为便于初学者掌握，仅用到一些较基本的数学知识，并且大多数问题有简单的例子说明算法的计算步骤.阅读本书只需具备线性代数、概率论和微分学的一些基础知识.本书可作为应用数学、经济学、管理科学以及许多工程技术学科研究生的教材或教学参考书.涉足运筹学优化的教师和研究人员更应该知道非线性规划特别是一·些较为简单的非线性规划如何计算.张忠桢2006年3月于武汉3
